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Números compuestos
Un número natural es compuesto si tiene más de dos divisores distintos. También lo podemos definir como aquel número natural que es mayor que 1 y no es primo. Todo número compuesto puedo descomponerse de forma única como producto de números primos.
Los números naturales se dividen en racionales e irracionales y los racionales se dividen en enteros y estos se dividen en positivos y negativos.
Los 20 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32.
Una característica de los números compuestos es que pueden escribirse como producto de dos enteros positivos menores que él. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4 x 5; y también el 87 ya que se expresa como 3 x 29. Sin embargo, no es posible hacer lo mismo con el 17 ó el 23 porque son números primos.
El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor que todos los demás; hay infinitos números compuestos.
La forma más sencilla de demostrar que un número n es compuesto, es encontrar un divisor decomprendido entre 1 y n (1 < title="Número primo" href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo">primos y compuestos están entremezclados unos con otros es lógico preguntarse si existirán secuencias de números compuestos consecutivos de longitud arbitraria. La secuencia 32, 33, 34, 35 y 36 es un ejemplo de longitud 5, y 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 y 126 un ejemplo de longitud 13. La respuesta es que podemos conseguir una secuencia de números compuestos tan larga como se desee. Si deseamos una secuencia de longitud 20, basta tomar los números 21!+2, 21!+3, 21!+4, ... , 21!+21, ya que el primero es divisible por 2, el segundo por 3, etcétera.
Un teorema de Fermat afirma que si p es primo de la forma 4n+1, entonces puede expresarse de forma única como suma de dos cuadrados. Si un número de la forma 4n+1 puede expresarse como suma de dos cuadrados de dos formas diferentes al menos, entonces el número es compuesto. Euler halló un método de factorización a partir de este hecho. Por ejemplo, si 221 = 112 + 102 = 142 + 52, entonces, 142 - 112 = 102 - 52. Tomando mcd(14+11, 10+5) = mcd(25,15) = 5, y después 25/5 = 5 y 15/5 = 3, y por último 52 + 32 = 25 + 9 = 34, entonces mcd(221, 34) = 17 nos da el factor que buscamos. El 1 y el 0 son casos especiales no son primos ni compuestos
jueves, 12 de junio de 2008
propiedades de los numeros primos y otras cosas mas
Propiedades de los números primos
Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b. (Lema de Euclides)
Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap − a es divisible por p (Pequeño Teorema de Fermat).
Un número p es primo si y solo si el factorial (p − 1)! + 1 es divisible por p. (Teorema de Wilson).
Si n es un número natural, entonces siempre existe un número primo p tal que . (Postulado de Bertrand)
En toda progresión aritmética , donde los enteros positivos son primos entre sí, existen infinitos números primos. (Teorema de Dirichlet).
El número de primos menores que un x dado sigue una función asintótica a (Teorema de los números primos).
El anillo Z/nZ es un cuerpo si y solo si n es primo. Equivalentemente: n es primo si y solo si φ(n) = n − 1.
Clases de primos Número primo de Fermat (de forma 22n + 1)
Número primo de Mersenne (de forma Mp = 2p – 1 donde p es primo)
Número primo de Sophie Germain (un p primo tal que 2p + 1 es primo)
Números primos gemelos (p y p+2 primos)
Conjeturas sobre los números primos
Todo número par mayor o igual que 4 es suma de dos números primos. (Conjetura de Goldbach)
Existen infinitos pares de números primos gemelos.
Existen infinitos números primos de Mersenne.
Para cada n natural, existe algún número primo entre n2 y (n + 1)2.
Existen infinitos números primos de la forma n2 + 1
La sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos.
Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b. (Lema de Euclides)
Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap − a es divisible por p (Pequeño Teorema de Fermat).
Un número p es primo si y solo si el factorial (p − 1)! + 1 es divisible por p. (Teorema de Wilson).
Si n es un número natural, entonces siempre existe un número primo p tal que . (Postulado de Bertrand)
En toda progresión aritmética , donde los enteros positivos son primos entre sí, existen infinitos números primos. (Teorema de Dirichlet).
El número de primos menores que un x dado sigue una función asintótica a (Teorema de los números primos).
El anillo Z/nZ es un cuerpo si y solo si n es primo. Equivalentemente: n es primo si y solo si φ(n) = n − 1.
Clases de primos Número primo de Fermat (de forma 22n + 1)
Número primo de Mersenne (de forma Mp = 2p – 1 donde p es primo)
Número primo de Sophie Germain (un p primo tal que 2p + 1 es primo)
Números primos gemelos (p y p+2 primos)
Conjeturas sobre los números primos
Todo número par mayor o igual que 4 es suma de dos números primos. (Conjetura de Goldbach)
Existen infinitos pares de números primos gemelos.
Existen infinitos números primos de Mersenne.
Para cada n natural, existe algún número primo entre n2 y (n + 1)2.
Existen infinitos números primos de la forma n2 + 1
La sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos.
numeros primos
Número primo
El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.
Los números primos menores que cien son 25, a saber: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única módulo el orden de los factores.
¿Cuántos números primos existen?
Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con métodos diversos, contandose entre ellos Algebra Conmutativa y Topología.
A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre procedimientos exactos para saber con certeza si un número determinado es primo o no en tiempo computacionalmente bajo.
Un procedimiento empleado para hallar todos los números primos menores que un entero dado es el de la criba de Eratóstenes. Además, se sabe que no hay límite para la distancia entre dos primos consecutivos; para ver esto basta notar que para n entero positivo en el conjunto
consta de n números consecutivos y no hay numeros primos entre ellos, pues sus elementos son divisibles por respectivamente.
Si nos preguntamos por la cantidad de primos bajo una cierta cantidad dada se conocen resultados satisfactorios. Denotando por π(x) la cantidad de primos hasta x se tiene que
donde, como es usual en Teoría de Números, log denota el logaritmo natural. Este es el Teorema del Número Primo en su versión mas sencilla, pero su demostración no es trivial.
Hasta hoy se mantienen abiertos numerosos problemas relativos a la distribución y frecuencia de aparición de los primos y de algunas familias particulares de estos. Por ejemplo, se conjetura que existen infinitos números primos de la forma p1=p2 + 2 (siendo p1 y p2 primos) o primos gemelos.
El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.
Los números primos menores que cien son 25, a saber: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única módulo el orden de los factores.
¿Cuántos números primos existen?
Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con métodos diversos, contandose entre ellos Algebra Conmutativa y Topología.
A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre procedimientos exactos para saber con certeza si un número determinado es primo o no en tiempo computacionalmente bajo.
Un procedimiento empleado para hallar todos los números primos menores que un entero dado es el de la criba de Eratóstenes. Además, se sabe que no hay límite para la distancia entre dos primos consecutivos; para ver esto basta notar que para n entero positivo en el conjunto
consta de n números consecutivos y no hay numeros primos entre ellos, pues sus elementos son divisibles por respectivamente.
Si nos preguntamos por la cantidad de primos bajo una cierta cantidad dada se conocen resultados satisfactorios. Denotando por π(x) la cantidad de primos hasta x se tiene que
donde, como es usual en Teoría de Números, log denota el logaritmo natural. Este es el Teorema del Número Primo en su versión mas sencilla, pero su demostración no es trivial.
Hasta hoy se mantienen abiertos numerosos problemas relativos a la distribución y frecuencia de aparición de los primos y de algunas familias particulares de estos. Por ejemplo, se conjetura que existen infinitos números primos de la forma p1=p2 + 2 (siendo p1 y p2 primos) o primos gemelos.
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